Analyse numérique

Compétences requises

Mathématiques des classes préparatoires ou équivalent.

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Skills in Mathematics from classes preparing students for engineer school entry or equivalent level.

Compétences visées

Fournir les bases de l'Analyse Numérique : voir les méthodes élémentaires pouvant résoudre les problèmes couramment rencontrés en Physique et en Science de l'Ingénieur.
Connaissance des méthodes élémentaires de résolution des problèmes classiques et de leurs limitations.

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The goals of this lecture are to provide the bases of the Numerical Analysis: see the elementary methods used for resolving the problems commonly met in Physics and in Engineer Sciences.
Knowledge of the elementary methods and of their limitations.

Syllabus

• Introduction : représentation des nombres, conditionnement, normes de Hölder.
• Racines d'équations : zéros réels de fonctions (dichotomie, Lagrange, sécante, Newton)
• Résolution de systèmes linéaires : conditionnement, méthodes directes (Gauss, Cholesky), méthodes indirectes (Jacobi, Gauss-Seidel).
• Approximation / Interpolation : approximation numérique (moindres carrés – linéaire/non linéaire), interpolation numérique, interpolation vs extrapolation.
• Quadrature : méthodes d'interpolation (Newton-Cotes, formules composites, Gauss).
• Équations différentielles ordinaires : problèmes aux conditions initiales (séries de Taylor, Runge-Kutta, méthodes à p pas,...), problèmes aux conditions aux limites (méthode du tir, méthode des différences finies).

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• Introduction : number representation, condition number, Hölder norms.
  
• Root-finding : roots of real functions (dichotomy, Lagrange, secant, Newton), roots of polynomials.
  
• Solving systems of linear equations : condition number, direct methods (Gauss, Choleski), iterative methods (Jacobi, Gauss-Seidel).
  
• Regression / Interpolation : regression (least squares – linear / non linear), interpolation, interpolation vs extrapolation.
  
• Evaluating integrals : interpolation methods (Newton-Cotes, composite formulas, Gauss).
  
• Ordinary differential equations : initial value problem (Taylor series, Runge-Kutta, multistep method,...), boundary value problems (shooting method, finite difference method).

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