Analyse S1

Description

Ce cours vise à développer les premières connaissances en analyse (fonctions classiques, limites, études de fonctions, intégration, équations différentielles).

Compétences visées

A la fin du cours, l’étudiant.e. devra savoir:

• Montrer qu’une fonction est bijective d’un intervalle sur un autre et trouver les propriétés de sa réciproque (expression explicite lorsque c’est possible, monotonie, expression de la dérivée, …)

• Réaliser l’étude complète d’une fonction usuelle jusqu’à obtenir une ébauche de tracé du graphe de la fonction

• Déterminer des primitives des fonctions usuelles en choisissant à bon escient une des techniques vues en cours.

• Reconnaître une équation différentielle linéaire du premier ou second ordre et la résoudre dans les cas cités ci-dessus.

Syllabus

1. Fonctions usuelles : hyperboliques (cosh, sinh, tanh) et fonctions trigonométriques réciproques (arcsin, arccos, arctan))

2. Calcul de limites (opérations arithmétiques, croissances comparées, taux d’accroissement, introduction des notions d’équivalence et négligeabilité)

3. Étude complète de fonctions (variations, convexité, asymptotes…)

4. Calcul de primitives : fonctions élémentaires, changement de variable, intégration par parties. Cas des fonctions de type fractions rationnelles, polynômes trigonométriques, polynômes et fractions rationnelles exponentiels.

5. Équations différentielles linéaires d’ordre 1 et 2 à coefficients constants avec et sans second membre :

On se contente ici de traiter les cas suivants :
— y′(x) + a(x)y(x) = b(x) pour des fonctions usuelles a et b données (variation de la constante)
— ay′′(x) + by′(x) + cy(x) = u(x) pour des constantes a, b, c données, et une fonction u de la forme (polynôme) x (exponentielle).

Bibliographie

Analyse (Fluoresciences) de Heu, Teyssier

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