Topologie

Description

1) Définitions et notions générales : topologie, ouverts, fermés, voisinage, adhérence, intérieur. Topologie induite par une distance, sousespace
topologique. Convergence des suites. Applications continues, homéomorphismes. 2) Exemples et constructions d'espaces topologiques.
Produits, quotients (par exemple par l'action d'un groupe), recollements.
Exemple des surfaces. 3) Connexité, connexité par arcs. 4) Espaces compacts. Le point de vue des recouvrements. Caractérisation par les
suites dans les espaces métriques. Procédé d'extraction diagonale; un produit dénombrable d'espaces métriques compacts est compact. La boule unité fermée d'un evn est compacte si et seulement si la dimension est finie. Exemples de parties compactes en analyse (th. d'Ascoli) 5) Espaces métriques complets. Exemples d'espaces de Banach (fonctions continues bornées, L^p). Théorème du point fixe (rappel). Théorème de complétion et illustrations (nombres p-adiques).