Introduction au langage formel et à la démonstration

Description

Ce cours est une introduction au langage mathématique et à la démonstration.

Qu’est-ce qu’une démonstration mathématique ? Et pourquoi faire des demonstrations ?

Contenu:
- Langage mathématique: statut des énoncés mathématiques et vocabulaire (axiome, lemme, théorème, corollaire, conjecture, prémisse, conclusion, hypothèse, contraposée, réciproque, condition nécessaire, suffisante, conjonction, disjonction), notion de variable libre ou liée, connecteurs logiques et quantificateurs, règles de permutation des quantificateurs, quantificateurs relativisés (∀ x ∈ R, P(x)), expression formelle de l’unicité, négation d’une formule quantifiée. 
-Rédaction d’une démonstration, règles logiques, y compris raisonnement par l’absurde, raisonnement par cas.
-Vocabulaire ensembliste: l’ensemble des x tels que…, union, intersection, complémentaire, paire, nuplet, produit cartésien.
-Fonctions: image directe, image inverse, injectivité, surjectivité, bijectivité.

-Relations: relation d’équivalence, relation d’ordre, classe d’équivalence, quotient.
-Propriétés fondamentales de N. Principe de récurrence.

Compétences visées

Connaitre le vocabulaire, savoir en donner une définition formelle et le mettre en oeuvre dans une démonstration courte.

Etre capable d’écrire des expressions mathématiques bien-formées.

Etre capable d’énoncer la négation d’une proposition.

Savoir utiliser le fait qu’une implication est vraie quand la prémisse est fausse.

Savoir montrer qu’un énoncé universel est faux en utilisant un contre-exemple.

Connaître les règles logiques de démonstration.

Savoir identifier et utiliser un raisonnement par l’absurde. 

Etre capable de démontrer des propriétés abstraites des fonctions.

Discipline(s)

• Mathématiques

Bibliographie

David, Hyvernat, Nour, Raffalli : Les Démonstrations Mathématiques