Algèbre

Description

Rappels sur groupes, actions de groupes, orbites, décomposition des permutations en produits de cycles.
Equations aux classes, applications : les p-groupes sont nilpotents, théorèmes de Sylow.

Anneaux principaux et euclidiens ; exemples. Notion de A-module, structure des A-modules lorsque A est un
anneau principal (se restreindre au cas A euclidien pour le côté algorithmique) ; applications : les Z-modules
et la structure des groupes abéliens finis (voire de type fini), les k[X]-modules et (via le lien entre k[X]-
modules et k-espace vectoriel muni d’un endomorphisme) classe de similitude d’un élément de M_n(k), k
corps ; forme de Jordan d’un élément de M_n(k), k corps algébriquement clos.

Équivalence entre k[G]-modules et représentations d’un groupe G. Pour G fini : complète réductibilité des Gmodules,
lemme de Schur, orthogonalité des caractères, construction des tables des caractères, produit
tensoriel de représentations et convolution.