EC
Problèmes inverses
Compétences requises
Bases en traitement du signal et de l’image ; notions de base en algèbre linéaire, analyse, probabilités et optimisation ; matlab.
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Basic knowledge in signal and image processing ; algebra, calculus, probability, optimization ; matlab.
Compétences visées
Ce cours a pour but de sensibiliser aux problèmes susceptibles d’être rencontrés dans le cadre du traitement de données issues d’un instrument de mesure et de l’inversion d’un modèle physique.
Les principaux cadres et méthodes proposés pour la résolution de problèmes inverses seront étudiés.
À l'issue de cet enseignement, l'étudiant aura appris à évaluer et à choisir une méthode de résolution de problème inverse.
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The goals of this lecture are to highlight the difficulties arising in the inversion of a physical model, and to present the main frameworks and methods addressing the resolution of inverse problems.
After this lecture, the student will be able to evaluate an inverse problem resolution method. The student will also be able to propose approaches for the resolution of a given inverse problem.
Syllabus
Contexte : présentation de divers cadres applicatifs ; difficultés liées à l’inversion d’un problème mal posé (interprétation en termes de valeurs singulières et interprétation en termes fréquentiels) ; perte d'information, nécessité de régulariser le problème, notion d’information a priori.
Méthodes déterministes de résolution : décomposition en valeurs singulières tronquée ; estimation par minimisation d'une fonction de coût.
Rappels de probabilités (règle de Bayes, choix d'un estimateur, méthodes de Monte Carlo).
Méthodes stochastiques de résolution : estimation au sens du maximum de vraisemblance – estimation au sens du maximum a posteriori – modèles markoviens – estimation des hyperparamètres.
Conclusion : perspective générale, bibliographie.
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Context: case studies; difficulties arising in the inversion of an ill-posed problem (interpretation considering singular values and interpretation in the Fourier domain); information loss, necessity to regularize the problem, concept of prior information.
Deterministic approaches: truncated singular value decomposition; estimation by minimization of a cost function.
Overview of Bayesian statistics (Bayes’ rule, choice of an estimator, Monte Carlo methods).
Stochastic approaches: maximum likelihood estimation – maximum a posteriori estimation – Markovian models – estimation of hyperparameters.
Conclusion: general perspective, bibliography.