Analyse matricielle

Compétences requises

Les prérequis pour ce cours concernent l’algèbre linéaire, les normes et, dans une moindre mesure, les polynômes.

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The prerequisites for this course are linear algebra, the matrix formulation of endomorphisms, decomposition and factorization methods seen in the course of Numerical Analysis (EP011M01), standards and, to a lesser extent, polynomials.

Compétences visées

Ce cours propose d'acquérir des compétences sur la traduction d'un problème physique multi-dimensionnel en une formulation mathématique déterministe, linéaire ou quadratique la plupart du temps. Dans un second temps, il s’agit d'appréhender des techniques de décomposition des matrices par l'exploitation intelligente des caractéristiques du système, permettant l’usage de décompositions classiques (SVD, Cholesky, QR, Schur, SMW,...). Cet enseignement s'appuie sur des exemples issus des sciences pour l'ingénieur (traitement du signal déterministe, théorie de l’information, robotique et vision par ordinateur, automatique,…).

À l'issue de cet enseignement, l'élève-ingénieur aura appris à :

• analyser des matrices dont les caractéristiques traduisent le comportement d’un système,
• choisir et mettre en oeuvre une méthode la plus adéquate possible pour la résolution d’un système linéaire tout en préservant les caractéristiques intrinsèques et structurelles du système.

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This course proposes to acquire skills on the translation of a multi-dimensional physical problem into a deterministic, linear or quadratic mathematical formulation most of the time. In a second step, it is to apprehend techniques of direct resolution, or if possible by the intelligent exploitation of the characteristics of the system, allowing the use of decompositions (SVD, Cholesky, QR, Schur, SMW, .. .). This teaching is based on examples from sciences for the engineer (deterministic signal processing, information theory, robotics and computer vision, ...). Different aspects of the practical evaluation of the algorithms are presented as the implementation, the choice of a representation of the data and the selection of the criteria.

At the end of this course, the student-engineer will have learned to

• translate a physical problem based on a deterministic model using matrices
  
• select and implement an adequate method for calculating the inverse or adjoint of a matrix with precision using direct or iterative techniques (normalization, trigonalization and diagonalization, factorization / decomposition techniques) and preserving the characteristics of the system.

Syllabus

Chapitre 0  Introduction : Objectifs, Compétences, Modalités d’évaluation

Chapitre 1 Les matrices et leurs caractéristiques : généralités, rang et noyau, espace propre, normes et conditionnement, matrices de rotation

Chapitre 2  Méthodes de décompositions : décompositions par blocs, décompositions de Cholesky, factorisations RQ et QR, décomposition en valeurs singulières.

Chapitre 3  Systèmes triangulaires, inversion généralisée, méthode des moindres carrés

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Chapter 0: Introduction, Skills, Objectives and Course Structure

Chapter 1: Matrix Formalism, Characteristics, rank and null-space, eigenspace, matrix norms and condition number, rotation matrix

Chapter 2: Main methods of matrix decomposition (SMW, Schur, Cholesky, QR/RQ, SVD)

Chapter 3: Triangular-shaped systems, Generalized inversion and Least Squares Issues (with SVD)

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